Question

已知α∈(

π

2

，π)，β∈(0，

π

2

)，且cos(α-β)=

4

5

，sin(α+β)=-

5

13

，求cos2α的值．

Answer 1

分析：根据α，β的范围确定α-β和α+β的范围，进而利用同角三角函数基本关系求得sin（α-β）和cos（α+β）的值，进而利用cos2α=cos[（α-β）+（α+β）]及两角和公式求得答案．

解答：解：∵α∈(

π

2

，π)，β∈(0，

π

2

)，
∴α-β∈(0，π)，α+β∈(

π

2

，

3π

2

)，
∴sin(α-β)=

1-cos2(α-β)

=

3

5

，
cos(α+β)=-

1-sin2(α+β)

=-

12

13

，
∴cos2α=cos[（α-β）+（α+β）]
=cos（α-β）cos（α+β）-sin（α-β）sin（α+β）
=

4

5

×(-

12

13

)-

3

5

×(-

5

13

)
=-

33

65

.

点评：本题主要考查了两角和的正弦函数．属基础题．