Question

11．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）求证直线BD与平面A₁B₁C₁D₁平行；
（2）求证：面BB₁DD₁⊥面AB₁C
（3）求二面角A-B₁C-C₁的大小．

Answer 1

分析 （1）由BD∥B₁D₁，能证明直线BD与平面A₁B₁C₁D₁平行．
（2）推导出D₁D⊥AC，AC⊥BD，从而AC⊥面DD₁B₁B，由此能证明面BB₁DD₁⊥面AB₁C．
（3）取B₁C的中点E，连接AE，EC₁．推导出∠AEC₁为二面角A-B₁C-C₁的平面角，由此能求出二面角A-B₁C-C₁的大小．

解答 证明：（1）∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BD∥B₁D₁，
BD?平面A₁B₁C₁D₁，B₁D₁?平面A₁B₁C₁D₁，
∴直线BD与平面A₁B₁C₁D₁平行．
（2）∵D₁D⊥面ABCD，AC?面ABCD，
∴D₁D⊥AC，
又∵在正方形ABCD中，∴由正方形性质得AC⊥BD，
∵D₁D∩BD=D，∴AC⊥面DD₁B₁B，
又∵AC?面AB₁C，∴面BB₁DD₁⊥面AB₁C．
（3）如图，取B₁C的中点E，连接AE，EC₁．
∵AC，AB₁，B₁C分别为正方形的对角线，∴AC=AB₁=B₁C，
∵E是B₁C的中点∴AE⊥B₁C，
又∵在正方形BB₁C₁C中，∴由正方形性质得EC₁⊥B₁C，
∴∠AEC₁为二面角A-B₁C-C₁的平面角，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为2，
则AB₁=AC=B₁C=$\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$，AE=$\sqrt{8-2}$=$\sqrt{6}$，
C₁E=$\sqrt{2}$，AC₁=$\sqrt{4+4+4}$=2$\sqrt{3}$，
∴cos∠AEC₁=$\frac{A{E}^{2}+E{{C}_{1}}^{2}-A{{C}_{1}}^{2}}{2AE•E{C}_{1}}$=$\frac{6+2-12}{2•\sqrt{6}•\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠AEC₁=$π-arccos\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角A-B₁C-C₁的大小为$π-arccos\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力与计算能力，考查等价转化思想、数形结合思想，是中档题．