Question

设f（x）=x²+bx+c（b，c∈R），已知方程f（f（x））=0有4个不同的实数根，且其中两个根之和为-1，求证：c≤-

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Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由题意，x²+bx+c=0有两个不同的根，从而可得△=b²-4c＞0，并设x²+bx+c=0的两个不同的根为m，n；从而可得△=b²-4（c-m）＞0，△=b²-4（c-n）＞0，进而求c．

解答： 证明：由题意，x²+bx+c=0有两个不同的根，
则△=b²-4c＞0，
设x²+bx+c=0的两个不同的根为m，n；
则x²+bx+c=m，x²+bx+c=n各有两个不同的根；
故△=b²-4（c-m）＞0，
△=b²-4（c-n）＞0，
则b²-4c+2（m+n）＞0，
即4c＜b²-2b恒成立，
又∵b²-2b≥-1，
∴4c＜-1；
∴c≤-

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点评：本题考查了二次方程的判断与根的个数问题，属于基础题．