Question

7．设函数f（x）=x³+ax²-9x+3（a＜0），且曲线y=f（x）斜率最小的切线与直线12x+y=6平行．试求：
（1）a的值；
（2）函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）先求出导函数的最小值，最小值与直线12x+y=6的斜率相等建立等式关系，求出a的值即可；
（2）先求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，解得的区间就是所求．

解答 解：（1）因f（x）=x³+ax²-9x-1
所以f'（x）=3x²+2ax-9=$3（x+\frac{a}{3}）^{2}-9-\frac{{a}^{2}}{3}$．
即当x=-$\frac{a}{3}$时，f'（x）取得最小值-9-$\frac{{a}^{2}}{3}$．
因斜率最小的切线与12x+y=6平行，即该切线的斜率为-12，
所以-9-$\frac{{a}^{2}}{3}$=-12．
解得a=±3，由题设a＜0，所以a=-3．
（2）由（1）知a=-3，因此f（x）=x³-3x²-9x+3，
f'（x）=3x²-6x-9=3（x-3）（x+1），
令f'（x）=0，解得：x₁=-1，x₂=3．
当x∈（-∞，-1）时，f'（x）＞0，故f（x）在（-∞，-1）上为增函数；
当x∈（-1，3）时，f'（x）＜0，故f（x）在（-1，3）上为减函数；
当x∈（3，+∞）时，f'（x）＞0，故f（x）在（3，+∞）上为增函数．
由此可见，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）和（3，+∞）；
单调递减区间为（-1，3）．

点评 本小题主要考查导数的几何意义，及运用导数求函数的单调区间、一元二次不等式的解法等基础知识，属于中档题．