Question

2．已知圆C₁：x²+y²-2x+10y-24=0与圆C₂：x²+y²+2x+2y-8=0
（1）求两圆的公共弦长；
（2）求以两圆公共弦为直径的圆的方程．

Answer 1

分析 （1）求出公共弦所在的直线方程，通过圆的圆心到直线的距离，半弦长与半径的关系，求出弦长即可；
（2）求出以两圆公共弦为直径的圆的圆心坐标为（-$\frac{8}{5}$，$\frac{6}{5}$），半径为$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，可得以两圆公共弦为直径的圆的方程．

解答 解：（1）由两圆C₁：x²+y²-2x+10y-24=0与圆C₂：x²+y²+2x+2y-8=0，
作差得，两圆C₁，C₂方公共弦方程为x-2y+4=0，
∴圆C₁圆心（1，-5）到直线（公共弦）的距离为d=$\frac{|1+10+4|}{\sqrt{5}}$=3$\sqrt{5}$．
∴弦长=2$\sqrt{（5\sqrt{2}）^{2}-（3\sqrt{5}）^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
（2）x-2y+4=0与x²+y²+2x+2y-8=0联立可得5y²-12y=0，∴y=0或$\frac{12}{5}$，
y=0时，x=-4，y=$\frac{12}{5}$时，x=$\frac{4}{5}$，
∴以两圆公共弦为直径的圆的圆心坐标为（-$\frac{8}{5}$，$\frac{6}{5}$），半径为$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴以两圆公共弦为直径的圆的方程为（x+$\frac{8}{5}$）²+（y-$\frac{6}{5}$）²=$\frac{36}{5}$．

点评 本题考查两个圆的位置关系，公共弦所在的直线方程，弦长的求法，考查计算能力．