Question

18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量$\overrightarrow m=（b，\sqrt{3}a）$，$\overrightarrow n=（cosB，sinA）$，且$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$．
（1）求角B的大小；
（2）若b=2，△ABC的面积为$\sqrt{3}$，求a+c的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用平面向量共线的性质可得$bsinA=\sqrt{3}acosB$，由正弦定理，同角三角函数基本关系式，结合sinA＞0，化简可得$tanB=\sqrt{3}$，结合B的范围可求B的值．
（2）由已知及三角形面积公式可解得ac=4，进而利用余弦定理整理可求a+c的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$，
∴$bsinA=\sqrt{3}acosB$，
∴由正弦定理，得$sinBsinA=\sqrt{3}sinAcosB$，
∵sinA＞0，
∴$sinB=\sqrt{3}cosB$，即$tanB=\sqrt{3}$，
∵0＜B＜π，
∴$B=\frac{π}{3}$．
（2）∵由三角形面积公式${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB$，得$\sqrt{3}=\frac{1}{2}ac×\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴解得ac=4，
∵由余弦定理，b²=a²+c²-2accosB，可得：4=a²+c²-2ac×$\frac{1}{2}$=（a+c）²-3ac=（a+c）²-12，
∴a+c=4．

点评 本题主要考查了平面向量共线的性质，正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．