Question

10．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈[-3，-2]时，f（x）=x²+4x+3，则y=f[f（x）]+1在区间[-3，3]上的零点个数为（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 4个
• D． 6个

Answer 1

分析 由题意，偶函数f（x）在区间[-3，3]上的值域为[-1，0]，确定f（x）=0，即可得出y=f[f（x）]+1在区间[-3，3]上的零点个数．

解答 解：∵当x∈[-3，-2]时，f（x）=x²+4x+3=（x+2）²-1∈[-1，0]；
又f（x）为R上的偶函数，
∴当x∈[2，3]时，f（x）∈[-1，0]；
又f（x+2）=f（x），∴f（x）为以2为周期的函数，
由题意，偶函数f（x）在区间[-3，3]上的值域为[-1，0]，
由f[f（x）]+1=0得到f[f（x）]=-1，于是可得f（x）=0或±2（舍弃），
由f（x）=0可得x=±1，±3，
所以y=f[f（x）]+1在区间[-3，3]上的零点个数为4．
故选：C，

点评 本题考查函数的周期性、奇偶性、函数图象的对称性，体现数形结合的数学思想．考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据已知条件分析函数的性质，进而判断出函数零点的分布情况是解答本题的关键．