Question

12．如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，SA=AB=$\frac{1}{2}$AC=a，∠BAC=60°，D是SC上的点．
（Ⅰ）若三棱锥的体积为$\frac{\sqrt{3}}{6}$，求a的值；
（Ⅱ）若SD=$\frac{1}{4}$SC，求证：AC⊥BD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AB=a，AC=2a，∠BAC=60°求出三角形ABC的面积，由SA⊥底面ABC，SA=a，得到$\frac{\sqrt{3}}{6}{a}^{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，由此能求出a．
（Ⅱ）在AC上取点E，使AE=$\frac{1}{4}AC$，则DE∥SA，推导出DE⊥AC，BE⊥AC，从而AC⊥平面BDE，由此能证明AC⊥BD．

解答 解：（Ⅰ）∵AB=a，AC=2a，∠BAC=60°，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}AB•AC•sin∠BAC$=$\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^{2}$，
∵SA⊥底面ABC，SA=a，
∴${V}_{S-ABC}=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•SA=\frac{\sqrt{3}}{6}{a}^{3}$，
由题意知$\frac{\sqrt{3}}{6}{a}^{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，解得a=1．
证明：（Ⅱ）在AC上取点E，使AE=$\frac{1}{4}AC$，则DE∥SA，
∵SA⊥底面ABC，∴DE⊥底面ABC，∴DE⊥AC，
在△ABE中，AE=$\frac{1}{2}a$，AB=a，∠BAC=60°，
由余弦定理得BE=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{1}{2}a）^{2}-2a•\frac{1}{2}a\frac{1}{2}cos60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
∵AB²=AE²+BE²，∴BE⊥AC，
∵BE∩DE=E，∴AC⊥平面BDE，
∵BD?平面BDE，∴AC⊥BD．

点评 本题考查三棱柱棱长的求法，考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．