Question

已知A（3，2）、B（-2，1）、C（1，-1）且

AP

=-2

PB

（1）证明：△ABC是等腰直角三角形
（2）求cos∠APC．

Answer 1

分析：（1）由题意得

CA

=(2，3)，

CB

=(-3，2)，由

CA

•

CB

=0，|

CA

|=|

CB

|，能够证明△ABC是等腰直角三角形．
（2）设点P（x，y），则

AP

=(x-3，y-2)，

PB

=(-2-x，1-y)．由

AP

=-2

PB

，知x-3=4+2x且y-2=2y-2，由此能求出cos∠APC．

解答：（1）证明：由题意得

CA

=(2，3)，

CB

=(-3，2)
因为

CA

•

CB

=0，
所以CA⊥CB
所以△ABC是直角三角形
又∵|

CA

| =

4+9

=

13

，|

CB

| =

9+4

=

13

，
∴|

CA

|=|

CB

|，
∴△ABC是等腰直角三角形
（2）解：设点P（x，y），
则

AP

=(x-3，y-2)，

PB

=(-2-x，1-y)
∵

AP

=-2

PB

，
∴x-3=4+2x且y-2=2y-2，
解得x=-7，y=0，
∴P（-7，0），
∴

PC

=(8，-1)，

PA

=(10，2)
∴

PA

•

PC

=78，
|

PC

|=

65

，|

PA

|=2

26

，
∴cos∠APC=

78

65 •2 26

=

3 10

10

．

点评：本题考查平面向量的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．解题时要认真审题，注意平面向量数量积的坐标运算的灵活运用．