Question

如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．

(1)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
(2)求证：无论点E在BC边的何处，都有；
(3)当为何值时,与平面所成角的大小为45°.

Answer 1

(1)EF//面PAC (2)因PA⊥底面ABCD，所以DA⊥PA，又DA⊥AB，所以DA⊥面PAB，又DA//CB，所以CB⊥面PAB所以，因为AF⊥PB所以AF⊥面PBC有 (3)

试题分析：⑴当E是BC中点时，因F是PB的中点，所以EF为的中位线，
故EF//PC，又因面PAC，面PAC，所以EF//面PAC     4分
⑵证明：因PA⊥底面ABCD，所以DA⊥PA，又DA⊥AB，所以DA⊥面PAB，
又DA//CB，所以CB⊥面PAB，而面PAB，所以，
又在等腰三角形PAB中，中线AF⊥PB，PBCB=B，所以AF⊥面PBC.
而PE面PBC，所以无论点E在BC上何处，都有      8分
⑶以A为原点，分别以AD、AB、AP为x\y\z轴建立坐标系，设，
则，，，设面PDE的法向量为，
由，得，取，又，
则由，得，解得.
故当时，PA与面PDE成角         12分
点评：证明线面平行时常借助于已知的中点转化为线线平行，第三问求线面角采用空间向量的方法思路较简单，只需求出直线的方向向量与平面的法向量，代入公式即可