Question

如图所示，四面体ABCD中，AB⊥BD、AC⊥CD且AD =3．BD=CD=2．

（1）求证：AD⊥BC；
（2）求二面角B—AC—D的余弦值．

Answer 1

（1）构造向量证明（2）

试题分析：（1）证明　作AH⊥平面BCD于H，连接BH、CH、DH，

易知四边形BHCD是正方形，且AH＝1，以D为原
点，以DB所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，
以垂直于DB，的直线为z轴，建立空间直角坐
标系，如图所示，则B(2,0,0)，C(0,2,0)，A(2,2,1)，   
所以＝，＝，  
因此·＝，所以AD⊥BC.       
（2）解：设平面ABC的法向量为n₁＝(x，y，z)，则由n₁⊥知：n₁·＝
同理由n₁⊥知：n₁·＝，
可取n₁＝，
同理，可求得平面ACD的一个法向量为       
∴〈n₁，n₂〉＝＝
即二面角B—AC—D的余弦值为   
点评：本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定方法，正确运用向量法解决面面角问题．