Question

6．已知命题p：关于x的不等式x³-3x²-9x+2≥m对任意x∈[-2，2]恒成立；命题q：函数y=$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$的图象与函数y=mx-2的图象恰有两个交点；若p∨q为真，则实数m的取值范围是（-∞，-20]∪（0，4）．

Answer 1

分析 命题p：关于x的不等式x³-3x²-9x+2≥m对任意x∈[-2，2]恒成立，?m≤（x³-3x²-9x+2）_min，x∈[-2，2]．令f（x）=x³-3x²-9x+2，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．
命题q：函数y=$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x＞1或x≤-1}\\{-x-1，-1＜x＜1}\end{array}\right.$，根据上述函数的图象与函数y=mx-2的图象恰有两个交点，画出图象即可得出m的取值范围．根据p∨q为真，可得p与q必然一真一假．即可得出m的取值范围．

解答 解：命题p：关于x的不等式x³-3x²-9x+2≥m对任意x∈[-2，2]恒成立，
?m≤（x³-3x²-9x+2）_min，x∈[-2，2]．
令f（x）=x³-3x²-9x+2，则f′（x）=3x²-6x-9=3（x-3）（x+1）．
可得：x∈[-2，-1）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；
x∈（-1，2]时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．
又f（-2）=0，f（2）=-20，可得x=2时，函数f（x）取得最小值，∴m≤-20．
命题q：函数y=$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x＞1或x≤-1}\\{-x-1，-1＜x＜1}\end{array}\right.$，
根据上述函数的图象
与函数y=mx-2的图象恰有两个交点，则0＜m＜4．
若p∨q为真，则p与q必然一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{m≤-20}\\{m≤0或m≥4}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{m＞-20}\\{0＜m＜4}\end{array}\right.$，
解得m≤-20，或0＜m＜4．
实数m的取值范围是m≤-20，或0＜m＜4．
故答案为：（-∞，-20]∪（0，4）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数图象的交点、简易逻辑的判定方法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．