Question

4．设P是椭圆C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1上的动点，则P到直线$\frac{x}{4}+\frac{y}{3}$=1的距离的最小值是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{21}-12}}{5}$
• B． $\frac{{12-\sqrt{21}}}{5}$
• C． $\frac{{2\sqrt{21}-12}}{5}$
• D． $\frac{{12-2\sqrt{21}}}{5}$

Answer 1

分析 设P（2cosθ，$\sqrt{3}$sinθ），0≤θ＜2π，运用点到直线的距离公式和辅助角公式，及正弦函数的值域加上即可得到所求最小值．

解答 解：P是椭圆C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1上的动点，
可设P（2cosθ，$\sqrt{3}$sinθ），0≤θ＜2π，
P到直线$\frac{x}{4}+\frac{y}{3}$=1即3x+4y-12=0的距离为d=$\frac{|6cosθ+4\sqrt{3}sinθ-12|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{1}{5}$|$\sqrt{36+48}sin（θ+α）$-12|
=$\frac{1}{5}$|2$\sqrt{21}$sin（θ+α）-12|，α为辅助角．
当sin（θ+α）=1时，P到直线$\frac{x}{4}+\frac{y}{3}$=1的距离的最小值为$\frac{12-2\sqrt{21}}{5}$．
故选：D．

点评 本题考查点到直线的距离的最值的求法，注意运用椭圆的参数方程和辅助角公式，考查正弦函数的值域，属于中档题．