Question

若曲线f（x）=xsinx+1在x=

π

2

处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直，则(ax2-

1

x

)5展开式中x的系数为（　　）

• A、40
• B、-10
• C、10
• D、-40

Answer 1

考点：二项式定理,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：二项式定理

分析：由题意可得 f′（

π

2

）=

2

a

，求得a=2．在(ax2-

1

x

)5=(2x2-

1

x

)5 的通项公式中，令x的幂指数等于1，求得r的值，可得(ax2-

1

x

)5展开式中x的系数．

解答： 解：由题意可得曲线f（x）=xsinx+1在x=

π

2

处的切线斜率为

2

a

，
故有f′（

π

2

）=

2

a

，即 sin

π

2

+

π

2

cos

π

2

=

2

a

，解得a=2．
则(ax2-

1

x

)5=(2x2-

1

x

)5 的通项公式为 T_r+1=

C

r 5

•2^5-r•（-1）^r•x^10-3r，
令10-3r=1，求得r=3，故(ax2-

1

x

)5展开式中x的系数为-10×4=-40，
故选：D．

点评：本题主要考查导数的几何意义，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．