题目内容

定义：若数列{An}满足An+1=An2，则称数列{An}为“平方递推数列”．已知数列{an}中，a1=2，且an+1=2an2+2an，其中n为正整数．
（1）设bn=2an+1，证明：数列{bn}是“平方递推数列”，且数列{lgbn}为等比数列；
（2）设（1）中“平方递推数列”{bn}的前n项之积为Tn，即Tn=（2a1+1）（2a2+1）…（2an+1），求数列{an}的通项及Tn关于n的表达式；
（3）记cn=
logTn2an+1
，求数列{cn}的前n项之和Sn，并求使Sn＞2008的n的最小值．
（1）由条件an+1=2an2+2an，得2an+1+1=4an2+4an+1=（2an+1）2．
∴{bn}是“平方递推数列”．∴lgbn+1=2lgbn．∵lg（2a1+1）=lg5≠0，∴
lg(2an+1+1)
lg(2an+1)
=2．
∴{lg（2an+1）}为等比数列．
（2）∵lg（2a1+1）=lg5，∴lg（2an+1）=2n-1?lg5，∴2an+1=52n-1，∴an=
1
2
（52n-1-1）．
∵lgTn=lg（2a1+1）+lg（2a2+1）+…+lg（2an+1）=
(1-2n)lg5
1-2
=（2n-1）lg5．
∴Tn=52n-1．
（3）cn=
lgTn
lg(2an+1)
=
(2n-1)lg5
2n-1lg5
=
2n-1
2n-1
=2-(
1
2
)n-1，
∴Sn=2n-[1+
1
2
+(
1
2
)2++(
1
2
)n-1]=2n-
1-(
1
2
)n
1-
1
2
=2n-2[1-(
1
2
)n]=2n-2+2(
1
2
)n．
由Sn＞2008得2n-2+2(
1
2
)n＞2008，n+(
1
2
)n＞1005，
当n≤1004时，n+(
1
2
)n＜1005，当n≥1005时，n+(
1
2
)n＞1005，∴n的最小值为1005．
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（1）证明：数列{2an+1}是“平方数列”，且数列{lg（2an+1）}为等比数列．
（2）设（1）中“平方数列”的前n项之积为Tn，即Tn=（2a1+1）（2a2+1）…（2an+1），求数列{an}的通项及Tn关于n的表达式．
（3）记bn=log2an+1Tn，求数列{bn}的前n项之和Sn，并求使Sn＞4020的n的最小值．
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（1）证明：数列{2an+1}是“平方递推数列”，且数列{lg（2an+1）}为等比数列．
（2）设（1）中“平方递推数列”的前n项之积为Tn，即Tn=（2a1+1）（2a2+1）…（2an+1），求数列{an}的通项及Tn关于n的表达式．
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定义：若数列{An}满足An+1=
A
2
n
则称数列{An}为“平方递推数列”，已知数列{an}中，a1=2，点{an，an+1}在函数f（x）=2x2+2x的图象上，其中n的正整数．
（1）证明数列{2an+1}是“平方递推数列”，且数列{lg（2an+1）}为等比数列；
（2）设（1）中“平方递推数列”的前n项之积为Tn，即Tn=（2a1+1）（2a2+1）…（2an+1），求数列{an}的通项及Tn关于n的表达式；
（3）记bn=log2an+1Tn，求数列{bn}的前n项和Sn，并求使Sn＞2008的n的最小值．
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（2）证明数列{lg（an+2）}为等比数列，并求数列{an}的通项．
（3）设Tn=（2+a1）（2+a2）…（2+an），求Tn关于n的表达式．

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