Question

（2012•石景山区一模）定义：若数列{A_n}满足An+1=An2，则称数列{A_n}为“平方递推数列”．已知数列{a_n}中，a₁=2，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=2x²+2x的图象上，其中n为正整数．
（1）证明：数列{2a_n+1}是“平方递推数列”，且数列{lg（2a_n+1）}为等比数列．
（2）设（1）中“平方递推数列”的前n项之积为T_n，即T_n=（2a₁+1）（2a₂+1）…（2a_n+1），求数列{a_n}的通项及T_n关于n的表达式．
（3）记bn=log2an+1Tn，求数列{b_n}的前n项之和S_n，并求使S_n＞2011的n的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=2x²+2x的图象上，可得数列递推式，再进行变形，利用定义即可得到结论；
（2）先确定an=

1

2

(52n-1-1)，再利用对数运算，即可求得T_n关于n的表达式；
（3）因为bn=

lgTn

lg(2an+1)

=

(2n-1)lg5

2n-1lg5

=

2n-1

2n-1

=2-(

1

2

)n-1，所以S_n=2n-2+2(

1

2

)n，再根据S_n＞2011，即可求得n的最小值．

解答：（1）证明：由条件得：an+1=2an2+2an，
∴2an+1+1=4an2+4an+1=(2an+1)2，
∴{2a_n+1}是“平方递推数列”．                          …（4分）
由lg（2a_n+1+1）=2lg（2a_n+1），
∴

lg(2an+1+1)

lg(2an+1)

=2，
∴{lg（2a_n+1）}为等比数列． …（6分）
（2）解：∵lg（2a₁+1）=lg5，∴lg(2an+1)=lg5•2n-1，
∴2an+1=52n-1
∴an=

1

2

(52n-1-1)．                                   …（8分）
∵lgTn=lg(2a1+1)+lg(2a2+1)+…+lg(2an+1)=

lg5•(1-2n)

1-2

=(2n-1)lg5，
∴Tn=52n-1．                                       …（10分）
（3）解：bn=

lgTn

lg(2an+1)

=

(2n-1)lg5

2n-1lg5

=

2n-1

2n-1

=2-(

1

2

)n-1，…（12分）
∴Sn=2n-[1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1]=2n-

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2n-2[1-(

1

2

)n]
=2n-2+2(

1

2

)n．                          …（14分）
由S_n＞2011，得2n-2+2(

1

2

)n＞2011，n+(

1

2

)n＞1006+

1

2

，
当n≤1006时，n+(

1

2

)n＜1006+

1

2

，当n≥1007时，n+(

1

2

)n＞1006+

1

2

，
因此n的最小值为1007．                   …（16分）

点评：本题考查数列的应用，考查新定义，考查数列的通项与求和，解题的关键是理解新定义，确定数列的通项．