题目内容
定义：若数列{An}满足An+1=An2，则称数列{An}为“平方数列”．已知数列{an}中，a1=2，点（an，an+1）在函数f（x）=2x2+2x的图象上，其中n为正整数．（1）证明：数列{2an+1}是“平方数列”，且数列{lg（2an+1）}为等比数列．
（2）设（1）中“平方数列”的前n项之积为Tn，即Tn=（2a1+1）（2a2+1）…（2an+1），求数列{an}的通项及Tn关于n的表达式．
（3）记bn=log2an+1Tn，求数列{bn}的前n项之和Sn，并求使Sn＞4020的n的最小值．
分析：（1）由条件an+1=2an2+2an，得2an+1+1=4an2+4an+1=（2an+1）2，而由lgbn+1=2lgbn．可得
=2．，从而可得{lg（2an+1）}为等比数列．
（2）由（I）可求lgan，进而可求an，利用对数的运算性质可求lgTn，进而可求Tn
（3）由（2）可求bn=
，求出Sn代入不等式Sn＞4020可求n
| lg(2an+1+1) |
| lg(2an+1) |
（2）由（I）可求lgan，进而可求an，利用对数的运算性质可求lgTn，进而可求Tn
（3）由（2）可求bn=
| lgTn |
| lg(2an+1) |
解答：解：（1）由条件an+1=2an2+2an，得2an+1+1=4an2+4an+1=（2an+1）2．∴{bn}是“平方数列”．
∴lgbn+1=2lgbn．∵lg（2a1+1）=lg5≠0，∴
=2．∴{lg（2an+1）}为等比数列．
（2）∵lg（2a1+1）=lg5，∴lg（2an+1）=2n-1?lg5，
∴2an+1=52n-1，∴an=
（52n-1-1）
∵lgTn=lg（2a1+1）+lg（2a2+1）+…+lg（2an+1）=
=（2n-1）lg5．
∴Tn=5(-1+2n)
（3）bn=
=
∴Sn=2n-2+
＞4020
∴n的最小值为2011．
∴lgbn+1=2lgbn．∵lg（2a1+1）=lg5≠0，∴
| lg(2an+1+1) |
| lg(2an+1) |
（2）∵lg（2a1+1）=lg5，∴lg（2an+1）=2n-1?lg5，
∴2an+1=52n-1，∴an=
| 1 |
| 2 |
∵lgTn=lg（2a1+1）+lg（2a2+1）+…+lg（2an+1）=
| lg5?(1-2n) |
| 1-2 |
∴Tn=5(-1+2n)
（3）bn=
| lgTn |
| lg(2an+1) |
| 2n-1 |
| 2n-1 |
∴Sn=2n-2+
| 1 |
| 2n |
∴n的最小值为2011．
点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，对数的运算性质的应用，分组求和的应用，属于知识的综合应用．
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