题目内容
定义:若数列{An}满足An+1=
则称数列{An}为“平方递推数列”,已知数列{an}中,a1=2,点{an,an+1}在函数f(x)=2x2+2x的图象上,其中n的正整数.
(1)证明数列{2an+1}是“平方递推数列”,且数列{lg(2an+1)}为等比数列;
(2)设(1)中“平方递推数列”的前n项之积为Tn,即Tn=(2a1+1)(2a2+1)…(2an+1),求数列{an}的通项及Tn关于n的表达式;
(3)记bn=log2an+1Tn,求数列{bn}的前n项和Sn,并求使Sn>2008的n的最小值.
A | 2 n |
(1)证明数列{2an+1}是“平方递推数列”,且数列{lg(2an+1)}为等比数列;
(2)设(1)中“平方递推数列”的前n项之积为Tn,即Tn=(2a1+1)(2a2+1)…(2an+1),求数列{an}的通项及Tn关于n的表达式;
(3)记bn=log2an+1Tn,求数列{bn}的前n项和Sn,并求使Sn>2008的n的最小值.
分析:(Ⅰ)由an+1=2an2+2an,an>0,知2an+1+1=4an2+4an+1=(2an+1)2,所以{2an+1}是“平方递推数列”.由lg(2an+1+1)=2lg(2an+1),且2an+1>1,知lg(1+2an)>0,由此能够证明{lg(2an+1)}为等比数列.
(Ⅱ)由lg(2a1+1)=lg5,知lg(2an+1)=lg5•2n-1,所以an=
(52n-1-1),由lgTn=lg(2a1+1)+lg(2a2+1)+…+lg(2an+1)=
=(2n-1)lg5,能求出Tn.
(Ⅲ)由bn=
=
=
=2-(
)n-1,知Sn=2n-[1+
+(
)2+…+(
)n-1]=2n-
=2n-2[1-(
)n]=2n-2+2(
)n由此能求出n的最小值.
(Ⅱ)由lg(2a1+1)=lg5,知lg(2an+1)=lg5•2n-1,所以an=
1 |
2 |
lg5•(1-2n) |
1-2 |
(Ⅲ)由bn=
lgTn |
lg(2an+1) |
(2n-1)lg5 |
2n-1lg5 |
2n-1 |
2n-1 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1-(
| ||
1-
|
1 |
2 |
1 |
2 |
解答:证明:(Ⅰ)由条件得:an+1=2an2+2an,an>0.
∴2an+1+1=4an2+4an+1=(2an+1)2,
∴{2an+1}是“平方递推数列”.
由lg(2an+1+1)=2lg(2an+1),
且2an+1>1,
∴lg(1+2an)>0,
∴
=2,
∴{lg(2an+1)}为等比数列.…(3分)
解:(Ⅱ)∵lg(2a1+1)=lg5,
∴lg(2an+1)=lg5•2n-1,
∴2an+1=52n-1
∴an=
(52n-1-1)…(5分)
∵lgTn=lg(2a1+1)+lg(2a2+1)+…+lg(2an+1),
=
=(2n-1)lg5,
∴Tn=52n-1…(7分)
(Ⅲ)bn=
=
=
=2-(
)n-1,
∴Sn=2n-[1+
+(
)2+…+(
)n-1]=2n-
=2n-2[1-(
)n]
=2n-2+2(
)n.…(10分)
由Sn>2008,得2n-2+2(
)n>2008,n+(
)n>1005,
当n≤1004时,n+(
)n<1005,当n≥1005时,n+(
)n>1005,
∴n的最小值为1005.…(13分)
∴2an+1+1=4an2+4an+1=(2an+1)2,
∴{2an+1}是“平方递推数列”.
由lg(2an+1+1)=2lg(2an+1),
且2an+1>1,
∴lg(1+2an)>0,
∴
lg(2an+1+1) |
lg(2an+1) |
∴{lg(2an+1)}为等比数列.…(3分)
解:(Ⅱ)∵lg(2a1+1)=lg5,
∴lg(2an+1)=lg5•2n-1,
∴2an+1=52n-1
∴an=
1 |
2 |
∵lgTn=lg(2a1+1)+lg(2a2+1)+…+lg(2an+1),
=
lg5•(1-2n) |
1-2 |
∴Tn=52n-1…(7分)
(Ⅲ)bn=
lgTn |
lg(2an+1) |
(2n-1)lg5 |
2n-1lg5 |
2n-1 |
2n-1 |
1 |
2 |
∴Sn=2n-[1+
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1-(
| ||
1-
|
=2n-2[1-(
1 |
2 |
=2n-2+2(
1 |
2 |
由Sn>2008,得2n-2+2(
1 |
2 |
1 |
2 |
当n≤1004时,n+(
1 |
2 |
1 |
2 |
∴n的最小值为1005.…(13分)
点评:本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项,结合含两个变量的不等式的处理问题,考查对新定义的理解能力.本题将数列放到新情境中,关键是正确理解题意,挖掘问题的本质与隐含.
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