Question

11．设函数f（x）=-2cosx-x，g（x）=-lnx-$\frac{k}{x}$（k＞0）．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）若对任意x₁∈[0，$\frac{1}{2}$]，总存在x₂∈[$\frac{1}{2}$，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将f（x）求导，令f′（x）＞0，根据三角函数图象及性质，即可解得f（x）的单调增区间；
（2）根据x的取值范围，函数f（x）的单调性及最大值，根据k的取值范围，分别求得g（x）的最大值，使得f（x₁）＜g（x₂），则需要f（x）_max＜g（x）_max，即可求出满足条件的实数k的取值范围．

解答 解：（1）f′（x）=2sinx-1，
令f′（x）＞0，得2sinx-1＞0，
解得：2kπ+$\frac{π}{6}$＜x＜2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
∴f（x）递增区间为（2kπ+$\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{5π}{6}$）k∈Z，
（2）当x∈[0，$\frac{1}{2}$]，f′（x）=2sinx-1＜0，
∴f（x）在[0，$\frac{1}{2}$]，上递减，
∴f（x）_max=f（0）=-2，
当0＜k≤$\frac{1}{2}$时，g′（x）=-$\frac{1}{x}$+$\frac{k}{{x}^{2}}$=$\frac{k-x}{{x}^{2}}$，
∵x∈[$\frac{1}{2}$，1]，g′（x）≤0，
∴g（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上递减，
∴g（x）_max=g（$\frac{1}{2}$）=ln2-2k，
由题意可知，ln2-2k＞-2，又0＜k≤$\frac{1}{2}$，
∴0＜k≤$\frac{1}{2}$，
当k≥1时，g′（x）≥0，g（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上递增，
∴g（x）_max=g（1）=-k＞-2，
∴1≤k＜2，
当$\frac{1}{2}$＜k＜1时，当$\frac{1}{2}$≤x＜k，g′（x）＜0，
当k＜x≤1，g′（x）＜0，
∴g（x）_max=g（k）=-lnk-1＞-2，
∴$\frac{1}{2}$＜k＜1，
综上，k∈（0，2）．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题是解答该题的关键，注意分类讨论的数学思想方法的应用，是压轴题．