Question

2．已知F是抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点，⊙M过坐标原点和F点，且圆心M到抛物线C的准线距离为$\frac{3}{2}$
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）已知抛物线C上的点N（s，4），过N作抛物线C的两条互相垂直的弦NA和NB，判断直线AB是否过定点？并说明理由．

Answer 1

分析 （I）根据圆的性质得出M到准线的距离，列方程解出p；
（II）求出N（4，4）．设A，B坐标，求出NA，NB，AB的斜率，根据垂直得出y₁，y₂的关系，代入AB的点斜式方程化简即可．

解答 解：（I）抛物线的焦点为F（$\frac{p}{2}$，0），准线方程为x=-$\frac{p}{2}$．
∵⊙M过坐标原点和F点，∴M在直线x=$\frac{p}{4}$上．
∴M到抛物线的准线的距离d=$\frac{p}{2}+\frac{p}{4}=\frac{3}{2}$，解得p=2．
∴抛物线方程为y²=4x．
（II）把y=4代入抛物线方程得x=4．即N（4，4）．
设A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂）．
k_NA=$\frac{{y}_{1}-4}{\frac{{{y}_{1}}^{2}-16}{4}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+4}$，k_NB=$\frac{{y}_{2}-4}{\frac{{{y}_{2}}^{2}-16}{4}}$=$\frac{4}{{y}_{2}+4}$，k_AB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$．
∵直线NA和直线NB互相垂直，∴$\frac{4}{{y}_{1}+4}•\frac{4}{{y}_{2}+4}=-1$，即y₁y₂=-4（y₁+y₂）-32．
∴直线AB的方程为y-y₁=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$（x-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$），即y=$\frac{4x}{{y}_{1}+{y}_{2}}$+$\frac{{{y}_{1}}_{\;}{y}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{4x-32}{{y}_{1}+{y}_{2}}$-4，
即AB方程为y+4=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$（x-8）．
∴直线AB过定点（8，-4）．

点评 本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．