Question

7．已知点A₁，A₂的坐标分别为（-2，0），（2，0）．直线A₁M，A₂M相交于点M，且它们的斜率之积是$-\frac{3}{4}$．
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）已知点A（1，t）（t＞0）是轨迹C上的定点，E，F是轨迹C上的两个动点，如果直线AE与直线AF的斜率存在且互为相反数，求直线EF的斜率．

Answer 1

分析 （I）设M（x，y），根据斜率关系列方程化简即可；
（II）设AE的斜率为k，则AF的斜率为-k，联立直线方程与椭圆方程，根据根与系数的关系求出E，F的坐标，代入斜率公式化简得出答案．

解答 解：（I）设M（x，y），则k_AM=$\frac{y}{x+2}$，k_BM=$\frac{y}{x-2}$．
∴$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-4}=-\frac{3}{4}$，即$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
∴点M的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（II）由椭圆方程得E（1，$\frac{3}{2}$）．
设直线AE方程为y=k（x-1）+$\frac{3}{2}$．则直线AF的方程为y=-k（x-1）+$\frac{3}{2}$．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）+\frac{3}{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消元得：（3+4k²）x²+4k（3-2k）x+4（$\frac{3}{2}$-k）²-12=0，
设E（x_E，y_E），F（x_F，y_F），
∵点A（1，$\frac{3}{2}$）在椭圆上，
∴x_E=$\frac{4（\frac{3}{2}-k）^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，y_E=k（x_E-1）+$\frac{3}{2}$．
同理可得：x_F=$\frac{4（\frac{3}{2}+k）^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，y_F=-k（x_F-1）+$\frac{3}{2}$．
∵x_E+x_F=$\frac{4（\frac{3}{2}-k）^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$+$\frac{4（\frac{3}{2}+k）^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{8{k}^{2}-6}{4{k}^{2}+3}$，x_E-x_F=$\frac{4（\frac{3}{2}-k）^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$-$\frac{4（\frac{3}{2}+k）^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$=-$\frac{24k}{4{k}^{2}+3}$．
∴k_EF=$\frac{{y}_{E}-{y}_{F}}{{x}_{E}-{x}_{F}}$=$\frac{k（{x}_{E}+{x}_{F}）-2k}{{x}_{E}-{x}_{F}}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了轨迹方程的求解，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．