Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（） 经过点，设椭圆C的左顶点为A，右焦点为F，右准线于x轴交于点M，且F为线段AM的中点，

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若过点A的直线l与椭圆C交于另一点P（P在x轴上方），直线PF与椭圆C相交于另一点Q，且直线l与OQ垂直，求直线PQ的斜率.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）推导出，从而，进而．，由点在椭圆上，得到，再由，得到，由此能求出椭圆的标准方程．

（2）设直线的方程为：，，代入椭圆方程，得，由，得，，推导出直线的方程为：，由，得直线的方程为：，两直线联立解得：，，再由在椭圆上，能求出直线的斜率．

解：（1）因为，，，且为的中点，

所以，则．

即，所以．

因为点在椭圆上，

所以，

又因为，所以，则，．

所以椭圆的标准方程为．

（2）由题意直线的斜率必存在且大于0，

设直线的方程为：，

代入椭圆方程并化简得：，

因为，

得，，

当时，的斜率不存在，此时不符合题意．

当时，直线的方程为：，

因为，所以直线的方程为：，

两直线联立解得：，，因为在椭圆上，

所以，化简得：，即，

因为，所以，

此时．

直线的斜率为．