题目内容
【题目】在
中，
，
.已知
分别是
的中点.将
沿
折起，使
到
的位置且二面角
的大小是60°，连接
，如图：
（1）证明：平面
平面
（2）求平面
与平面
所成二面角的大小.
【答案】（1）证明见解析（2）45°
【解析】
（1）设
的中点为
，连接
，设
的中点为
，连接
，
，从而
即为二面角
的平面角，
，推导出
，从而
平面
，则
，即
，进而
平面
，推导四边形
为平行四边形，从而
，
平面，由此即可得证.
（2）以B为原点，在平面中过B作BE的垂线为x轴，BE为y轴，BA为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面
与平面所成二面角的大小.
（1）∵
是
的中点，∴
.
设的中点为，连接.
设的中点为，连接，.
易证：
，
，
∴即为二面角的平面角.
∴，而
为
的中点.
易知
，∴
为等边三角形，∴.①
∵
，
，
，∴平面.
而
，∴
平面，∴，即.②
由①②，
，∴平面.
∵
分别为
的中点.
∴四边形为平行四边形.
∴，平面，又
平面.
∴平面
平面.
（2）如图，建立空间直角坐标系，设
.
则
，
，
，
，
显然平面的法向量
，
设平面的法向量为
，
，
，
∴
，∴
.
，
由图形观察可知，平面与平面所成的二面角的平面角为锐角.
∴平面与平面所成的二面角大小为45°.
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