Question

3．已知f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2013|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2013|（x∈R），且集合M={a|f（a²-a-2）=f（a+1）}，则集合N={f（a）|a∈M}的元素个数有（　　）

• A． 2个
• B． 3个
• C． 4个
• D． 无数个

Answer 1

分析 根据绝对值函数的几何意义，得到函数f（x）是偶函数，建立方程组即可得到结论．

解答 解：f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2013|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2013|的几何意义是：
数轴上x到点±1，±2，±3，±4，…，±2013的距离之和，
f（x）=|-x+1|+|-x+2|+…+|-x+2013|+|-x-1|+|-x-2|+…+|-x-2013|的几何意义是
数轴上点±1，±2，±3，±4，…，±2013到x点的距离之和，
则根据绝对值的几何意义可知f（-x）=f（x），
即函数f（x）是偶函数，
若f（a²-a-2）=f（a+1），
则a²-a-2=a+1，①或a²-a-2=-（a+1），②，
解得a=-1，或a=3，或a=1．
故M={-1，3，1}
而f（-1）=f（1），
故集合N={f（a）|a∈M}的元素个数有2个，
故选：A

点评 本题主要考查函数值的计算，根据绝对值的几何意义判断出f（x）是偶函数，是解决本题的关键．难度较大．