Question

13．已知a＞0，函数f（x）=4acos（3x-$\frac{π}{6}$）-a+2b，当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]时，3≤f（x）≤7．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）取最小值时自变量取值构成的集合．

Answer 1

分析 （1）由条件利用余弦函数的定义域和值域，求得a、b的值，可得f（x）的解析式．
（2）根据函数的解析式以及余弦函数的最值，求得f（x）取最小值时自变量取值构成的集合．

解答 解：（1）∵a＞0，函数f（x）=4acos（3x-$\frac{π}{6}$）-a+2b，
当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]时，-$\frac{2π}{3}$≤3x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{3}$，-$\frac{1}{2}$≤cos（3x-$\frac{π}{6}$）≤1，
而此时，3≤f（x）≤7，故-2a-a+2b=3，且 4a-a+b=7，求得a=$\frac{11}{9}$，b=$\frac{10}{3}$，
∴f（x）=$\frac{11}{9}$cos（3x-$\frac{π}{6}$）+3．
（2）对于函数f（x）=$\frac{11}{9}$cos（3x-$\frac{π}{6}$）+3，当3x-$\frac{π}{6}$=2kπ+π，
即x=$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{7π}{18}$，k∈Z时，f（x）取最小值，
故f（x）取最小值时自变量取值构成的集合为{x|x=$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{7π}{18}$，k∈Z}．

点评 本题主要考查余弦函数的图象、余弦函数的定义域和值域，属于基础题．