题目内容

在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
x=-3t+2
y=4t
（t为参数），P为C1上的动点，Q为线段OP的中点．
①求点Q的轨迹C2的方程；
②在以O为极点，x轴的正半轴为极轴（两坐标系取相同的长度单位）的极坐标系中，N为曲线p=2sinθ上的动点，M为C2与x轴的交点，求|MN|的最大值．
考点：点的极坐标和直角坐标的互化,参数方程化成普通方程
专题：坐标系和参数方程
分析：①设点Q的坐标为（x，y），则由题意可得P（2x，2y），且
2x=-3t+2
2y=4t
，由此可得点Q的轨迹C2的方程．
②由题意可得，点M（1，0），曲线p=2sinθ化为直角坐标方程，表示以A（0，1）为圆心、半径为1的圆．
则|MN|的最大值即为|AM|+1．
解答： 解：①设点Q的坐标为（x，y），则由题意可得P（2x，2y），∴
2x=-3t+2
2y=4t
，
即
x=-
3
2
t+1
y=2t
 （t为参数）．
②由题意可得，点M（1，0），曲线p=2sinθ的直角坐标方程为 x2+（y-1）2=1，
表示以A（0，1）为圆心、半径为1的圆．
由于|AM|=
2
，∴|MN|的最大值为1+
2
．
点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求点的轨迹方程，直线和圆的位置关系，属于中档题．
练习册系列答案
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已知在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a2+b2-6abcosC=0，且sin2C=2sinAsinB．（1）求角C的值；
（2）设函数f（x）=cos（ωx-
2π
3
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π
2
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（Ⅱ）证明：
x2
x1
随着a的减小而增大；
（Ⅲ）证明x1+x2随着a的减小而增大．
已知点A（1，0），点P是抛物线y2=x上任意一点，则|AP|的最小值是
 
．
对于函数f（x）=sinx，下列命题正确的有
 
．（写出所有正确命题的序号）
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π
2
，
π
2
）．
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．
如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD于D．BD与外接圆交于点E，已知DE=5，则△ABC的外接圆的半径为
 
．
函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得满足：f（x）在[a，b]上是单调函数且在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为函数f（x）的“和谐区间”．下列函数中存在“和谐区间”的是
 

①f（x）=x3（x∈R）
②f（x）=
1
x
（x∈R，x≠0）
③f（x）=
4x
x2+1
（x∈R）
④f（x）=ex（x∈R）
⑤f（x）=lg|x|+2（x∈R，x≠0）
若三个互不相等的正数x1，x2，x3满足方程xi+lnxi=mi（i=1，2，3），且m1+m3=2m2，则下列关系式正确的是（　　）
A、x1x3＜x22
B、x1x3≤x22
C、x1x3＞x22
D、x1x3≥x22

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