Question

10．向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$|，且（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$=0，则$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}$为（　　）

• A． 0
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 把已知两个向量等式整理变形可得$|\overrightarrow{a}|$与$|\overrightarrow{b}|$的关系，则答案可求．

解答 解：由|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$|，得$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}=12|\overrightarrow{a}{|}^{2}$，
则$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}=12|\overrightarrow{a}{|}^{2}$，
∴$2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=11|\overrightarrow{a}{|}^{2}-|\overrightarrow{b}{|}^{2}$，
由（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$=0，得${\overrightarrow{a}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，即$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}={\overrightarrow{a}}^{2}=|\overrightarrow{a}{|}^{2}$，
∴$2|\overrightarrow{a}{|}^{2}=11|\overrightarrow{a}{|}^{2}-|\overrightarrow{b}{|}^{2}$，得$9|\overrightarrow{a}{|}^{2}=|\overrightarrow{b}{|}^{2}$，
则$\frac{|\overrightarrow{a}{|}^{2}}{|\overrightarrow{b}{|}^{2}}=\frac{1}{9}$，即$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{1}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，明确${\overrightarrow{a}}^{2}=|\overrightarrow{a}{|}^{2}$是关键，是中档题．