Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

1

anan+1

，且数列{b_n}的前n项和为T_n．若T_n≥

5

12

，求n的最小值．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：解：（1）由S_n=n²，当n=1时，a₁=S₁=1，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1即可得出．
（2）b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用“裂项求和”即可得出．

解答： 解：（1）∵S_n=n²，当n=1时，a₁=S₁=1，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．当n=1时也成立，∴a_n=2n-1．
（2）b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴数列{b_n}的前n项和为T_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．
由T_n≥

5

12

，

n

2n+1

≥

5

12

，解得n≥

5

2

，因此n的最小值为3．

点评：本题考查了递推式的应用、“裂项求和”方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．