题目内容
8．已知数列{an}中，a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2（n≥3）．（1）证明{an+an-1}与{an-3an-1}分别都是等比数列并求出数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
分析 （1）根据an=2an-1+3an-2（n≥3）．即可得到an+an-1=3（an-1+an-2），an-3an-1=-（an-1-3an-2），利用等比数列的定义，证明即可；
（2）由（1），求出an=$\frac{1}{4}$×[7•3n-1+13•（-1）n-1]，再根据等比数列的求和公式计算即可．
解答 解：（1）a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2（n≥3），
∴an+an-1=3an-1+3an-2=3（an-1+an-2），
∵a1=5，a2=2，
∴a2+a1=5+2=7，
∴数列{an+an-1}是以7为首项，3为公比的等比数列，
∵an=2an-1+3an-2，
∴an-3an-1=-（an-1-3an-2），
∵a1=5，a2=2，
∴a2-3a1=2-15=-13，
∴数列{an-3an-1}是以-13为首项，-1为公比的等比数列；
（2）由（1）知数列{an+an-1}是以7为首项，3为公比的等比数列，数列{an-3an-1}是以-13为首项，-1为公比的等比数列，
∴an+an-1=7•3n-2，an-3an-1=-13•（-1）n-2，
∴an=$\frac{1}{4}$×[7•3n-1+13•（-1）n-1]，
∴Sn=$\frac{1}{4}$[$\frac{7（1-{3}^{n}）}{1-3}$+$\frac{13（1-（-1）^{n}）}{1-（-1）}$]=$\frac{3}{4}$+$\frac{7}{8}$×3n-$\frac{1}{8}$×（-1）n．
点评 证明数列是等比数列，定义是根本，求数列的通项，正确运用等比数列的通项是关键．
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13．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{1-{x^2}}，-1≤x≤1\\-x，x＜-1或x＞1\end{array}$，且函数g（x）=f（x）-kx+2k有三个不同的零点，则实数k的取值范围是（ ）
| A． | $-\frac{{\sqrt{3}}}{3}≤k≤0$ | B． | $k≤-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$或$k=-\frac{1}{3}$ | C． | $-\frac{{\sqrt{3}}}{3}＜K＜-\frac{1}{3}$ | D． | $-\frac{{\sqrt{3}}}{3}≤k≤-\frac{1}{3}$或k=0 |