Question

11．已知关于x的方程k•9^x-3k•3^x+6（k-5）=0，x∈[0，2]；分别求满足下列条件的实数k的取值范围：（1）有解；（2）有唯一解；（3）有两个解．

Answer 1

分析 （1）设t=3^x，由指数函数的单调性，可得t的范围，将方程化为k=$\frac{30}{{t}^{2}-3t+6}$在[1，9]有解，设f（t）=t²-3t+6，求出在[1，9]的值域，即可得到所求k的范围．
（2）利用（1）的结果，通过函数的单调性与函数图象，求解方程只有一个解时k的范围；
（3）利用函数的图象，写出由两个解时k的范围．

解答 解：（1）设t=3^x，由x∈[0，2]，可得t∈[1，9]，
方程k•9^x-k•3^x+1+6（k-5）=0，即为kt²-3kt+6（k-5）=0，
即k=$\frac{30}{{t}^{2}-3t+6}$在[1，9]有解，
由f（t）=t²-3t+6=（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{15}{4}$，
当t=$\frac{3}{2}$∈[1，9]时，f（t）取得最小值$\frac{15}{4}$，
f（1）=4，f（9）=60，可得f（t）的最大值为60．
可得k的最小值为$\frac{30}{60}$=$\frac{1}{2}$，
k的最大值为$\frac{30}{\frac{15}{4}}$=8，
即有k的取值范围是[$\frac{1}{2}$，8]．
（2）由（1）可知k=$\frac{30}{{t}^{2}-3t+6}$在[1，9]有解，
由f（t）=t²-3t+6=（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{15}{4}$，
t∈[1，$\frac{3}{2}$）f（t）是减函数，函数k是增函数；
t∈（$\frac{3}{2}$，9]，f（t）是增函数，函数k是减函数．
t=1时，k=$\frac{15}{2}$，t=9时，k=$\frac{1}{2}$，函数k=$\frac{30}{{t}^{2}-3t+6}$在[1，9]的图象如图：
有唯一解；实数k的取值范围：$[\frac{1}{2}，\frac{15}{2}）∪\{8\}$；
（3）有两个解．实数k的取值范围：$[\frac{15}{2}，8）$；

点评 本题考查函数方程的转化思想，注意运用换元法和指数函数、二次函数的值域求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．