题目内容
【题目】在四棱锥
中，
为等边三角形，四边形
为矩形，
为
的中点，
.
证明：平面
平面
.
设二面角
的大小为
，求的取值范围.
【答案】
证明见解析；
.
【解析】
连接
，根据题意可证出
平面
，
，进而证出
平面
，即可证出平面
平面；
建立空间直角坐标系，写出平面
的法向量为
，平面
的法向量为
，进而利用公式写出
，进而得出结果.
解：证明：连接，因为
为等边三角形，
为
的中点，
所以
，
又因为
，
，
所以平面，.
因为四边形
为矩形，所以
，
，
所以平面.
因为
平面，所以平面平面.
以
为原点，建立如图所示的空间直角坐标系
，
设
，
，
则
，
，
，
由空间向量的坐标运算可得
，
，
.
设平面的法向量为
，
则
，代入可得
令
，
，
，所以.
设平面的法向量为
，
则
，代入可得
令
，
，
，所以.
二面角
的大小为
，由图可知，二面角为锐二面角，
所以，
当
趋于
时，
，则
，
所以.
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