Question

【题目】已知函数，有下列四个命题：

①函数是奇函数；

②函数在是单调函数；

③当时，函数恒成立；

④当时，函数有一个零点，

其中正确的是____________

Answer 1

【答案】③④

【解析】

①根据与的关系即可判断；②当时,,对求导可得,设,显然连续,利用零点存在性定理可得存在,使得,即可判断时的单调性,进而判断②；由②可知当时,为的最小值,判断是否成立即可判断③；利用零点存在性定理即可判断④.

由题,的定义域为,

①,且,所以不是奇函数,故①错误；

②,当时,,

则,

令,则,,

所以存在,使得,

所以当时,,是单调减函数；

当时,,是单调增函数,

所以②错误；

③由②可知,当时,在上有最小值,且,

所以,

因为,

由,则,即,

所以,

所以当时,恒成立,故③正确；

④当时,,且,,

所以在内有一个零点,故④正确.

故答案为:③④