Question

【题目】如图1在正方形中，，是的中点，把沿折叠，使为等边三角形，得到如图2所示的几何体．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（I）取的中点，连接，，证得和，证得平面，进而得到．

（Ⅱ）由（Ⅰ）证得，分别以，的方向为轴，轴的正方向，过点垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.

（I）依题意，底面是直角梯形，，，

取的中点，连接，，

则，，所以四边形为矩形，所以，

因为为等边三角形，所以，

因为，所以平面，

因为平面，所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面，所以平面平面，

点到平面的距离即点到的距离，

因为，，，所以平面，所以，

在中，可得到的距离为，

分别以，的方向为轴，轴的正方向，过点垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

所以，，

设平面的一个法向量为，

所以取，则，

而平面的一个法向量为，

则，

由图可知，二面角为钝角，所以所求的余弦值为．