Question

【题目】以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）.

（Ⅰ）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；

（Ⅱ）求曲线上的动点到直线距离的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）化简直线的极坐标方程为，代入互化公式，即可求得直线的直角坐标方程，由曲线的参数方程，消去参数，即可求得得曲线的普通方程；

（Ⅱ）设点的坐标为，利用点到直线的距离公式，结合三角函数的性质，即可求解.

（Ⅰ）由直线的极坐标方程为，可得，

将，代入上式，可得直线的直角坐标方程为，

由曲线的参数方程（为参数），可得（为参数），

平方相加，可得曲线的普通方程为.

（Ⅱ）设点的坐标为，

则点到直线：的距离为（其中）.

当时，取最大值，且的最大值为.