题目内容

已知函数 $数学公式$ ，
（1）求f（x）的最小正周期和单调减区间；
（2）若f（x）＜m+2在 $数学公式$ 上恒成立，求实数m的取值范围．

解：（1） $\text{[math]}$
=1-cos（ $\text{[math]}$ -2x）- $\text{[math]}$ cos2x
=1-sin2x- $\text{[math]}$ cos2x
=1-2sin（2x+ $\text{[math]}$ ），
故最小正周期T= $\text{[math]}$ =π，
由- $\text{[math]}$ +2kπ≤2x+ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ +2kπ，得- $\text{[math]}$ +kπ≤x≤ $\text{[math]}$ +kπ（k∈Z），
所以函数f（x）的最小正周期为π，单调减区间为[ $\text{[math]}$ +kπ， $\text{[math]}$ +kπ]（k∈Z）．
（2）x∈[0， $\text{[math]}$ ]，则2x+ $\text{[math]}$ ∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，则sin（2x+ $\text{[math]}$ ）∈[ $\text{[math]}$ ，1]，
则f（x）∈[-1，1- $\text{[math]}$ ]，即f（x）在 $\text{[math]}$ 上的值域为[-1，1- $\text{[math]}$ ]．
因为f（x）＜m+2在 $\text{[math]}$ 上恒成立，所以m+2＞1- $\text{[math]}$ ，
解得m＞-1- $\text{[math]}$ ．
所以实数m的取值范围为（-1- $\text{[math]}$ ，+∞）．
分析：（1）对函数f（x）进行变形，使f（x）=Asin（ωx+φ）+B（ω＞0）的形式，可求其最小正周期，再根据复合函数单调性的判断方法可求其减区间；
（2）要使f（x）＜m+2在 $\text{[math]}$ 上恒成立，只要x∈[0， $\text{[math]}$ ]时f（x）_max＜m+2即可．
点评：本题考查函数恒成立问题及三角函数的周期性、单调性，函数恒成立问题往往需要转化为函数最值问题进行处理．