Question

15．设z₁=a+2i（a∈R），z₂=3-4i．
（1）若z₁•z₂为纯虚数，求a的值；
（2）若$\frac{z_1}{z_2}$在复平面内对应的点位于第二象限，求a取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出；
（2）利用复数的运算法则、几何意义即可得出．

解答 解：（1）z₁•z₂=（a+2i）•（3-4i）=（3a+8）+（6-4a）i为纯虚数，
∴$\left\{\begin{array}{l}3a+8=0\\ 6-4a≠0\end{array}\right.$，解得$a=-\frac{8}{3}$．   
（2）$\frac{z_1}{z_2}=\frac{a+2i}{3-4i}=\frac{（a+2i）•（3+4i）}{25}=\frac{3a-8}{25}+\frac{6+4a}{25}i$，
∵$\frac{z_1}{z_2}$在复平面内对应的点位于第二象限，
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{3a-8}{25}＜0\\ \frac{6+4a}{25}＞0\end{array}\right.$，
解得$-\frac{3}{2}＜a＜\frac{8}{3}$．
∴a的取值范围是$（-\frac{3}{2}，\frac{8}{3}）$．

点评 本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．