Question

20．已知函数f（x）=sin（$\frac{π}{2}$-x）sinx-$\sqrt{3}$sin²x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
  （Ⅱ）求f（x）在区间[0，$\frac{π}{4}$]上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，利用周期公式即可计算得解．
（Ⅱ）由已知可求范围2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，利用正弦函数的图象和性质即可求得最小值．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）由题意得f（x）=cosxsinx-$\sqrt{3}$sin²x
=$\frac{1}{2}$sin2x-$\sqrt{3}$（$\frac{1-cos2x}{2}$）
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$                     …（5分）
∴T=$\frac{2π}{2}=π$．…（6分）
（Ⅱ）∵x∈[0，$\frac{π}{4}$]，∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴f（x）的最小值为f（$\frac{5π}{6}$）=$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$．…（12分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，周期公式，正弦函数的图象和性质的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．