Question

5．函数f（x）=|sinx|+|cosx|的最小正周期为m，函数g（x）=sin³x-sinx的最大值为n，则mn=$\frac{\sqrt{3}π}{9}$．

Answer 1

分析 首先把三角函数变形成f（x）=$\sqrt{1+|sin2x|}$的形式，进一步求出函数的最小正周期m的值．令t=sinx∈[-1，1]，函数g（x）=h（t）=t³-t，利用导数求得它的最大值，可得n的值，从而求得mn的值．

解答 解：∵函数f（x）=|sinx|+|cosx|=$\sqrt{1+|sin2x|}$，∴它的最小正周期为m=$\frac{π}{2}$，
∵令t=sinx∈[-1，1]，函数g（x）=h（t）=t³-t，
求得 h′（t）=3t²-1=0，∴t=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
在区间（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）上，h′（t）＜0，故h（t）的减区间为（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）；
在区间（-1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）、（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）上，h′（t）＞0，故h（t）的增区间为[-1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）、（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1]；
故当t=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，函数h（t）取得极大值为$\frac{\sqrt{3}}{9}$π，又h（1）=0，故h（t）的最大值为n=${（-\frac{\sqrt{3}}{3}）}^{3}$-（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$，
则mn=$\frac{π}{2}•\frac{2\sqrt{3}}{9}$=$\frac{\sqrt{3}π}{9}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了三角函数的周期性及其求法，求得|sinx|+|cosx|=$\sqrt{1+|sinx|}$是解题的关键；还考查利利用导数求函数的最值，属于中档题．