Question

12．在△ABC中，AB=3AC=3，AD是∠A的内角平分线，交BC于点D，$\frac{BD}{DC}$=3且AD=m，则实数m的取值范围（0，$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 设出AC，利用三角形内角平分线的性质可知，BD=$\frac{3}{4}$，CD=$\frac{1}{4}$BC，通过余弦定理求出cos$\frac{A}{2}$=$\frac{2m}{3}$，结合A的范围通过三角函数的有界性，求出实数m的取值范围．

解答 解：设AC=1，则AB=3，由三角形内角平分线的性质可知，BD=$\frac{3}{4}$，CD=$\frac{1}{4}$BC，
在△ACD中，由余弦定理可得：（$\frac{3}{4}$BC）2=9+m2-2×3mcos$\frac{A}{2}$，
在△ABD中，由余弦定理可得：（$\frac{1}{4}$BC）2=1+m2-2×mcos$\frac{A}{2}$，
消去BC并化简得：cos$\frac{A}{2}$=$\frac{2m}{3}$，
∵0＜$\frac{A}{2}$＜$\frac{π}{2}$，
∴cos$\frac{A}{2}$∈（0，1），
∴0＜$\frac{2m}{3}$＜1，
解得m∈（0，$\frac{3}{2}$）．
实数m的取值范围是：（0，$\frac{3}{2}$）．
故答案为：（0，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查角的平分线的性质的应用，余弦定理的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于基本知识的考查．