Question

1．已知函数$f（x）=2cosx（\sqrt{3}sinx+cosx）+2$
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期与单调递减区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数化简可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+3，由周期公式可得，解不等式2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$可得单调递减区间；
（Ⅱ）由x∈$[0，\frac{π}{2}]$结合三角函数的性质逐步计算可得2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+3∈[2，5]，可得最值．

解答 解：（Ⅰ）化简可得$f（x）=2cosx（\sqrt{3}sinx+cosx）+2$
=$\sqrt{3}$•2sinxcosx+2cos²x+2
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1+2
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+3，
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$可得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$
∴函数的单调递减区间为[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]（k∈Z）；
（Ⅱ）∵x∈$[0，\frac{π}{2}]$，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[$-\frac{1}{2}$，1]，
∴2sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，2]，
∴2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+3∈[2，5]，
∴函数的最大值和最小值分别为5，2．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和单调性及最值，属中档题．