Question

5．等比数列{a_n}前n项和${S_n}=a+{（-\frac{1}{3}）^n}$，n∈N^*，则$\lim_{n→∞}（{a_1}+{a_3}+{a_5}+…+{a_{2n-1}}）$=-$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 根据等比数列{a_n}的前n项和推知a₁和q，然后根据求和公式进行计算并求极限．

解答 解：∵等比数列{a_n}前n项和为S_n=a+（-$\frac{1}{3}$）ⁿ，n∈N^*，
∴a_n=S_n-S_n-1=a+（-$\frac{1}{3}$）ⁿ-a+（-$\frac{1}{3}$）^n-1=-$\frac{4}{3}$•（-$\frac{1}{3}$）^n-1，
∴a₁=-$\frac{4}{3}$，q=-$\frac{1}{3}$
∴a₁，a₃，a₅，…，a_2n-1，为首项-$\frac{4}{3}$，公比为$\frac{1}{9}$的等比数列，
∴a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1=$\frac{-\frac{4}{3}（1-\frac{1}{{9}^{n}}）}{1-\frac{1}{9}}$=-$\frac{3}{2}$（1-$\frac{1}{{9}^{n}}$），
∴$\lim_{n→∞}（{a_1}+{a_3}+{a_5}+…+{a_{2n-1}}）$=$\underset{lim}{n→∞}$（-$\frac{3}{2}$（1-$\frac{1}{{9}^{n}}$）=-$\frac{3}{2}$
故答案为：$-\frac{3}{2}$

点评 本题考查数列的前2n项中奇数项和的极限的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．