Question

13．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，向量$\overrightarrow a=（{{S_n}，1}）$，$\overrightarrow b=（{{2^n}-1，\frac{1}{2}}）$，满足条件$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1-b_n=1，c_n=$\frac{b_n}{a_n}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由向量共线的坐标运算可得数列递推式，由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由已知可得数列{b_n}是等差数列，求其通项公式，代入c_n=$\frac{b_n}{a_n}$，利用错位相减法求数列{c_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a=（{{S_n}，1}）$，$\overrightarrow b=（{{2^n}-1，\frac{1}{2}}）$，且$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}={2}^{n}-1$，即${S}_{n}={2}^{n+1}-2$．
当n=1时，a₁=S₁=2；
当n≥2时，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}={2}^{n}$．
a₁=2适合上式，
∴${a}_{n}={2}^{n}$；
（2）∵b₁=1，b_n+1-b_n=1，
∴b_n=1+1×（n-1）=n，
则c_n=$\frac{b_n}{a_n}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$．
∴${T}_{n}=\frac{1}{{2}^{1}}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}+…+\frac{n-1}{{2}^{n-1}}+\frac{n}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}=\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}+…+\frac{n-1}{{2}^{n}}+\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
两式作差得：$\frac{1}{2}{T}_{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}-\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$1-\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$．
∴${T}_{n}=2-\frac{n+2}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查向量共线的坐标表示，考查等差数列通项公式的求法，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．