Question

15．已知函数f（x）=$\frac{3x-2}{x+1}$（x≥2）
（Ⅰ）判断函数f（x）在区间[2，+∞）上的单调性，并利用定义证明你的结论；
（Ⅱ）求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，由作差法证明：设x₁＞x₂≥2，化简f（x）的解析式，求出并分析f（x₁）-f（x₂）的符号，由函数单调性的定义即可得答案；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，分析可得f（x）≥f（2），又由函数的解析式分析可得f（x）＜3，综合即可得答案．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=$\frac{3x-2}{x+1}$在区间[2，+∞）为增函数，
证明如下：设x₁＞x₂≥2，
f（x）=$\frac{3x-2}{x+1}$=$\frac{3（x+1）-5}{x+1}$=-$\frac{5}{x+1}$+3，
则f（x₁）-f（x₂）=（-$\frac{5}{{x}_{1}+1}$+3）-（-$\frac{5}{{x}_{2}+1}$+3）=$\frac{5}{{x}_{2}+1}$-$\frac{5}{{x}_{1}+1}$=$\frac{5（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$，
又由x₁＞x₂≥2，
则有f（x₁）-f（x₂）＞0，
故函数f（x）=$\frac{3x-2}{x+1}$在区间[2，+∞）为增函数，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：函数f（x）=$\frac{3x-2}{x+1}$在区间[2，+∞）为增函数，
则有f（x）≥f（2）=$\frac{4}{3}$，
又由f（x）=$\frac{3x-2}{x+1}$=$\frac{3（x+1）-5}{x+1}$=-$\frac{5}{x+1}$+3＜3，
则有$\frac{4}{3}$≤f（x）＜3，
即函数f（x）的值域为[$\frac{4}{3}$，3）．

点评 本题考查函数单调性的判定及应用，注意题干中x的取值范围．