Question

下列函数中，值域是（0，+∞）的函数是

 

．
（1）y=x-

2

3

；（2） y=x²+x+1；（3）y=

1-x

1+x

；（4）y=|log₂（x+1）|．

Answer 1

分析：本题考查的是函数值域的求解问题．在解答时：（1）利用幂函数的性质即可判断单调性；（2）先配方，通过研究开口和对称轴即可获得单调性；（3）对解析式进行变形得：y=

2

1+x

-1进而即可分析其单调性；（4）此函数为复合函数，首先分析y=log₂（x+1）与函数y=log₂x的关系，然后再加绝对值，即将x轴下方的关于x轴对称，进而即可获得函数的单调性．在逐一获得函数的单调性后即可在定义域上求的函数的最值，进而问题即可获得解答．

解答：解：由题意：
（1）利用幂函数的性质可知函数在（-∞，0）上为增函数、在（0，+∞）上为减函数，所以函数的值域为（0，+∞）；
（2）配方得：y=(x+

1

2

)2+

3

4

≥

3

4

，所以函数的值域为[

3

4

，+∞)；
（3）对解析式进行变形得：y=

2

1+x

-1进而即可分析其单调性为：在（-∞，-1）上为单调递减函数，在（-1，+∞）上为单调递减函数，所以函数的值域为：（-∞，-1）∪（-1，+∞）；
（4）此函数为复合函数，首先函数y=log₂（x+1）的图象可以看作是由函数y=log₂x的图象向左平移1个单位得到，函数y=|log₂（x+1）|的图象可以看作是由函数y=log₂（x+1）的图象将x轴下方的部分关于x轴对称后得到，所以函数的值域为：[0，+∞）．
故答案为：（1）．

点评：本题考查的是函数值域的求解问题．在解答的过程当中充分体现了幂函数的性质、二次函数的性质、解析式的变形以及复合函数单调性的分析．值得同学们体会和反思．