Question

1．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC是等腰直角三角形，且斜边$AB=\sqrt{2}$，侧棱AA₁=2，点D为AB的中点，点E在线段AA₁上，AE=λAA₁（λ为实数）．
（1）求证：不论λ取何值时，恒有CD⊥B₁E；
（2）当$λ=\frac{1}{3}$时，记四面体C₁-BEC的体积为V₁，四面体D-BEC的体积为V₂，求V₁：V₂．

Answer 1

分析 （1）证明CD⊥AB，AA₁⊥CD，然后证明CD⊥平面ABB₁A₁，推出CD⊥B₁E．
（2）利用等体积法，转化求解即可．

解答 （1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，点D为AB的中点，
∴CD⊥AB．…（2分）
∵AA₁⊥平面ABC，CD?平面ABC，∴AA₁⊥CD．…（4分）
又∵AA₁?平面ABB₁A₁，AB?平面ABB₁A₁，AA₁∩AB=A，∴CD⊥平面ABB₁A₁．…（5分）
又∵B₁E?平面ABB₁A₁，∴CD⊥B₁E．…（6分）
（2）∵△ABC是等腰直角三角形，且斜边$AB=\sqrt{2}$，∴AC=BC=1.${V_1}={V_{{C_1}-CBE}}={V_{E-{C_1}BC}}=\frac{1}{3}AC•{S_{△{C_1}BC}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×2=\frac{1}{3}$，…（8分）${V_2}={V_{D-BEC}}={V_{E-CDB}}=\frac{1}{3}AE•{S_{△DBC}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1×1×\frac{2}{3}=\frac{1}{18}$，…（11分）
所以V₁：V₂=6…（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理以及的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．