Question

20．定义：[x]（x∈R）表示不超过x的最大整数．例如[1.5]=1，[-0.5]=-1．给出下列结论：
①函数y=[sinx]是周期为2π的周期函数；
②函数y=[sinx]是奇函数；
③函数y=[sinx]的值域是{-1，0，1}；
④函数y=[sinx]-cosx不存在零点．
其中正确命题的序号是①③④（写出所有正确命题的序号）．

Answer 1

分析 根据三角函数的性质①②③判断比较容易，④要分类讨论，根据[sinx]的取值讨论cosx的取值，从而解得．

解答 解：∵sin（2π+x）=sinx，∴[sin（2π+x）]=[sinx]，∴①正确；
∵[sin$\frac{π}{6}$]=0，[sin（-$\frac{π}{6}$）]=-1，∴②不正确；
∵y=sinx的值域为[-1，1]，
∴函数y=[sinx]的值域是{-1，0，1}，故③正确；
当[sinx]=-1时，-1≤sinx＜0，cosx＞-1，则[sinx]-cosx＜0，
当[sinx]=0时，0≤sinx＜1，cosx≠0，则[sinx]-cosx≠0，
当[sinx]=1时，sinx=1，则[sinx]-cosx=1，
故④正确；
故答案为：①③④．

点评 本题考查了三角函数的性质的应用及学生的学习能力的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于中档题．