Question

19．（1）当x＞3时，求函数y=$\frac{2{x}^{2}}{x-3}$的最小值．
（2）若x²-2ax+2≥0在R上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令t=x-3（t＞0），用t表示函数y，再由基本不等式计算即可得到最小值；
（2）运用二次函数的判别式小于等于0，解不等式即可得到所求a的范围．

解答 解：（1）令t=x-3（t＞0），即x=t+3，
即有y=$\frac{2（t+3）^{2}}{t}$=2（t+$\frac{9}{t}$+6）≥2（2$\sqrt{t•\frac{9}{t}}$+6）=24，
当且仅当t=3，即x=6时，取得最小值24；
（2）x²-2ax+2≥0在R上恒成立，即为
△=4a²-8≤0，解得-$\sqrt{2}$≤a≤$\sqrt{2}$．
则实数a的取值范围为[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查函数的最值的求法：注意运用换元法和基本不等式，考查函数恒成立问题的解法，注意运用二次函数判别式小于等于0，考查运算能力，属于中档题．