Question

1．已知双曲线C以原点O为中心，以坐标轴为对称轴，过（3，$2\sqrt{6}$）和（-2，-3）两点．
（1）求双曲线C的标准方程．
（2）斜率为1的直线l过双曲线C的右焦点，并且与双曲线交于A、B两点，求△OAB的面积．

Answer 1

分析 （1）设双曲线方程为：$\frac{{x}^{2}}{m}-\frac{{y}^{2}}{n}=1$（mn＜0），将（3，$2\sqrt{6}$）和（-2，-3）两点代入双曲线方程即可求得m和n的值，求得双曲线C的标准方程；
（2）由（1）可知，求得焦点坐标，设直线AB的方程，代入双曲线方程，利用韦达定理求得x₁+x₂=2，x₁•x₂=-$\frac{7}{2}$，由弦长公式，点到直线的距离公式及三角形的面积公式即可求得△OAB的面积．

解答 解：设双曲线方程为：$\frac{{x}^{2}}{m}-\frac{{y}^{2}}{n}=1$（mn＜0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{m}-\frac{24}{n}=1}\\{\frac{4}{m}-\frac{9}{n}=1}\end{array}\right.$，解得：m=1，n=3，
双曲线C的标准方程${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由题意可得：c²=a²+b²=4，c=2，右焦点F₂（2，0），
设直线AB方程为：y=x-2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：2x²-4x-7=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=2，x₁•x₂=-$\frac{7}{2}$，
丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{4+14}$=6，
由O到直线AB的距离d=$\frac{丨0-0+2丨}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
△OAB的面积S=$\frac{1}{2}$•d•丨AB丨=3$\sqrt{2}$，
∴△OAB的面积3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查双曲线的方程及性质，考查三角形的面积的求法，注意运用联立直线方程和双曲线的方程，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．