Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥O时，f ^-1（x）=

x

，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x）≤

1

2

f（x+t）恒成立，则实数x的取值范围是（　　）

• A．[2，+∞）
• B．[-

  2

  ，-1]∪[0，

  2

  ]
• C．[

  2

  ，+∞）
• D．（0，2]

Answer 1

分析：先利用反函数的求法求出函数f（x）在[0，+∞）上的解析式，再根据奇偶性可得f（x）在R上的解析式，从而得到的函数的单调性，根据f（x）=

1

2

f（

2

x）可化简不等式，最后根据单调性建立不等关系，从而可求出所求．

解答：解：∵当x≥O时，f ^-1（x）=

x

，
∴当x≥0时，f（x）=x²
∵f（x）是定义在R上的奇函数
∴当x＜0时，f（x）=-x²
∴f（x）=

x2   x≥0 -x2  x＜0

，
∴f（x）在R上是单调递增函数，
且满足2f（x）=f（

2

x），
∵不等式

1

2

f（x+t）≥f（x）=

1

2

f（

2

x）在[t，t+2]恒成立，
∴x+t≥

2

x在[t，t+2]恒成立，
即：x≤（1+

2

）t在[t，t+2]恒成立，
∴t+2≤（1+

2

）t
解得：t≥

2

，
故选C．

点评：本题主要考查了反函数，以及函数恒成立问题及函数的奇偶性，难度适中，关键是掌握函数的单调性与奇偶性，属于中档题．