Question

如图，多边形ABCDE中，∠ABC＝90°，AD∥BC，△ADE是正三角形，AD＝2，AB＝BC＝1，沿直线AD将△ADE折起至△ADP的位置，连接PB，BC，构成四棱锥P－ABCD，使得∠PAB＝90°.点O为线段AD的中点，连接PO.

（1）求证：PO⊥平面ABCD；

（2）求异面直线CD与PA所成角的余弦值.

 

Answer 1

（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）利用线线垂直证明线线垂直，注意“相交直线”这一条件的使用；（2）通过平行线，将异面直线转化为相交直线，再构造三角形，通过余弦定理可求得其余弦值.

试题解析： （1）证明：∵∠ABC＝90°，AD∥BC，

（注：证到BA⊥面PAD、PO⊥面ABCD各给3分.）

（2） 取PD中点F，连接BO、OF、BF.

由平几知识可得：OF∥PA，BO∥CD， 1分

∠BOF为所求异面直线PA与CD所成的角或补角. 1分

可求，|OF|＝1，|BF|＝2 . 1分

在△BOF中，由余弦定理可得：. 2分

所求异面直线PA与CD所成角的余弦值为：. 1分

（注：考生用其它方法求得答案，不扣分.解答步骤参考本答案给分.）

考点：空间线面关系，异面直线所成角